[CDD de remplacement] Contrat de travail

Bonjour,

Je suis actuellement en cdd pour le remplacement d'un salarié en arrêt maladie, mais à ce jour, je n'ai toujours pas de contrat de travail. J'ai contacté ma responsable qui m'a fait savoir qu'elle me communiquera mon contrat lorsqu'elle aura en sa possession la date de fin de l'arrêt de travail de la personne absente. Du coup, je me demande : est-ce que je suis quand même déclaré salarié même sans contrat de travail ?

Aussi, sur l'offre d'emploi, il était indiqué que le remplacement était pour une durée d'un mois. Est-ce que, si d'ici là, je ne possède toujours pas de contrat de travail, je dois me fier à cette durée et quitter mon poste ou devrais-je continuer ?

En vous remerciant pour vos précisions.