Étendre un visa touristique depuis la France

Bonjour, Ma femme est américaine et je suis français. Nous sommes en France depuis 15 jours, elle avec un visa touristique de trois mois. Nous souhaitons maintenant rester en France pour une durée de dix mois pour passer du temps en famille, mais retourner aux États Unis est compliqué du fait de ma situation de santé. Nous savons qu'il existe un visa longue durée mais ne sommes sur de la démarche à suivre pour l'obtenir. Je me renseignais du coup à propos du carte de séjour "vie privée et familiale" d'un étranger en France. A en croire cette page du site du gouvernement (https://www.service-public.fr/particuliers/vosdroits/F2209) il semble qu'au bout de six mois ici nous pourrions engager cette démarche. Est-ce correcte ? Étant donné que le visa touristique dure trois mois, que ce passe-t-il notre le moment où il expire et le moment où ma femme peut prétendre à la carte de séjour "vie privée et familiale" ? Merci de vos réponses