Accident: déclaré responsable alors que non. Quel recours ?

Bonjour à toutes et tous,

La semaine dernière j'ai eu un accident avec ma voiture heureusement sans trop de gravité.

Voici ce qui s'est passé:

je m'apprêtais à faire une manoeuvre pour stationner mon véhicule dans le parking d'une grande surface de bricolage sur un emplacement "en bataille".

Je ralenti puis m'arrête donc sur la voie de circulation. Avant de commencer à faire la manoeuvre, je vérifie tous les rétroviseurs, ainsi que je les angles morts en me retournant: voie libre.

Je mets donc mon clignotant à droite, et m'apprête en enclencher la marche arrière. Et là, je vois arriver un véhicule dans le rétroviseur central. J'ai hésité un court moment en me demandant s'il m'avait vu, et j'ai compris trop tard que non. J'ai juste lâcher le frein à pied avant le choc. Je n'avais pas encore commencé ma manoeuvre à ce moment là.

Le gars commence à me cherche des histoires en me disant que je n'avais pas mis mon clignotant... Je lui ai montré que non, le commodo était encore enclenché à droite.

Nous remplissons donc le recto du constat amiable. A tête reposée, je complète le verso du constat puis je transfère à mon assurance.

J'étais quasiment sûr d'être non responsable.... Patatrac, je reçois la conclusion de l'assurance qui m'indique que "ma responsabilité est pleinement engagée".

Furieux, j'appelle l'assurance afin qu'on me fournisse des explications... Et là on me dit que j'ai marqué sur le croquis "clignotant droit activé + marche arrière".

Mon sang n'a fait qu'un tour. Effectivement, sur le croquis j'ai marqué ça. Je pense que dans la précipitation et le stress j'avais voulu dire que j'avais enclenché la marche arrière, mais que j'étais à l'arrêt. D'ailleurs j'ai marqué dans la case observation que "je voulais me garer dans une place en épi, j'étais à l'arrêt avec le clignotant à droite".
Et c'est ce que j'ai repris dans le verso: "Je m'apprêtais à faire une manoeuvre pour stationner mon véhicule dans le parking de X à V. J'étais à l'arrêt sur la voie de circulation. J'ai vérifié mes rétroviseurs ainsi que les angles morts avant de mettre mon clignotant à droit et de faire la manoeuvre. Après seulement j'ai vu arriver le véhicule B à vive allure, je n'ai rien pu faire à part lâcher le frein pour limiter les dégâts. Le clignotant était activé avant le choc."
Je pense faire un courrier pour contester: comment le tourner, faut il connaitre des articles, etc ? Que pouvez-vous me conseiller ?
Puis si ça ne marche pas, je pense écrire au médiateur de l'assurance, et dans le pire des cas au médiateur des assurances.
Qu'en pensez vous ?
Merci par avance.