Continue à travailler pendant 15 jours suite à cdd dans établissement public

 J’avais un contrat en cdd jusqu'au 31/08/2021avec un établissement public d’enseignement supérieur. 
Dans l’attente de l’établissement de mon eventuel nouveau contrat, on m’a demandé de travailler et faire la rentrée et mes cours. A partir du 1er septembre j'ai donc poursuivi mon activité sans nouveau cdd. Je me suis retrouvée à  travailler sans contrat, avec juste la parole de mes supérieures comme garantie qu'un nouveau contrat me serait bien proposé. Je trouve la situation était très stressante et oppressante, me placant dans une situation d'incertitude forte. Hier on m'a demandé de signer le nouveau CDD en date du 01/09.
Suite à cela, je voudrais savoir si cette procédure est bien legale. Et surtout je trouve ça inacceptable. Je viens de lire que l’article L1243-11 imposait que lorsque la relation contractuelle de travail se poursuit après l'échéance du terme du contrat à durée déterminée, celui-ci devient un contrat à durée indéterminée. Cela s’appliqué pour des entreprises. Je voulais savoir si cela s’appliqué également pour des établissements publics et notamment dans mon cas?
Merci